中国数学的喜与忧

在汉朝，中国数学家已经开始研究如何去解方程式，包括计算立方根，到宋朝时，已经可以解多次方程，比西方早几百年，但解决的方法是数字解，对方程的结构没有深入的了解。

一个最简单的问题就是解二次方程：

X²+1=0

事实上，无论X是任何实数，方程的左边总是大于零，所以这个方程式没有实数的解，因此中国古代数学家不去讨论这个方程式。

大约在四百多年前，西方数学家开始注意这个方程，文艺复兴后的意大利数学家发现它跟解三次和四次方程有关。他们知道上述二次方程没有实数解，就假设它还是有解，将这个想象中的解叫作虚数。

虚数的发现很了不起!有了虚数后，西方学者发现所有多项式都有解，而且解的数目刚好是多项式的次数。所以有了虚数后，多项式的理论才成为完美的理论。

完美的数学理论很快就得到无穷的应用。事实上，后来物理学家和工程学家发现虚数是用来解释所有波动现象最佳的方法，这包括音乐、流体和量子力学里面波动力学的种种现象。数论研究对象的重要部分是整数，但为了研究整数，我们不能避免地要大量用到复数的理论来帮忙。

在19世纪初叶，柯西和黎曼开始了复变函数的研究，将我们的眼界由一维推广到二维，改变了现代数学的发展。黎曼又引入了Zeta函数，发现了复函数的解析性质可以给出整数中的质数(prime number)的基本性质。另一方面，他也因此开发了高维拓扑这个学科。由于复数的成功，数学家企图将它推广，制造新的数域，但很快就发现除非放弃一些条件，否则那是不可能的。但是哈密尔顿(William Rowan Hamilton)和凯利(Arthur Cayley)先生却在放弃复数域中某些性质后，引进四元数(quarterion)和八元数(Cayley numbers)这两个新的数域。这些新的数域影响了狄拉克(Paul Dirac)在量子力学的构想，创造了狄拉克方程。从这里可以看到数学家和物理学家为了追求完美化而得到重要的结果。

爱因斯坦创造广义相对论时，人类观察到的宇宙空间实在不大，他却得到数学家的大力帮助。在爱因斯坦完成广义相对论后，外尔和很多科学家开始融合引力场理论和电磁场理论，外尔率先提出规范场的理论，经过十年的挣扎，才将麦克斯韦的电磁理论看作和广义相对论类似的规范场论，在物理学上，这是一个伟大的突破。二十多年以后，泡利(Wolfgang Pauli)、杨振宁和米尔斯将规范群推广到非交换群后，完成了一般的规范场理论，成为近代物理学标准模型的基础。

有趣的是，外尔说：假如理论和见到的现象有冲突，而这个理论漂亮而简洁的时候，我宁愿相信理论。这个看法对规范场理论的发展有很大的帮助。在这里，我们又看到了文学家和科学家类似的地方。

将一个问题或现象完美化，然后，将完美化后的结果应用到新的数学理论，来解释新的现象，这是数学家的惯用手法，与文学家有很多相似的地方，只不过文学家用这种手法来表达他们的感情罢了。

在中国古代，很多传说都是凭想象力，根据已知知识夸大地描述很多无法证明的事情。文学家为了欣赏现象或者舒解情怀而夸大，而完美化，但数学家却为了了解现象而构建完美的背景。有些时候，数学家花了几千页纸的理论将一些模糊不清的具体现象用极度抽象的方法去统一、描述、解释。

这是值得惊喜的事：近代数学家在数学不同的分支取得巨大的成果，与文学家的手段极为类似。所以好的数学家最好有人文的训练，从变化多姿的人生和大自然中得到灵感来将科学和数学完美化，而不是禁锢自己的脚步和眼光，只跟着前人的著作，做少量的改进，就以为自己是一个大学者。

我们需要培养一些能望尽天涯路，又能衣带渐宽终不悔的学者，这需要浓郁的文化和感情的背景。中国数学家太注重应用，不在乎数学严格的推导，更不在乎数学的完美化。因此至明清时，中国数学家实在无法跟文艺复兴的数学家相比。直到如今，除了少数两三个大师外，中国数学家走的研究道路基本上还是萧规曹随。在创新的路上提不起勇气，不敢走前人没有走过的路。这一点与中国近几十年来文艺教育不充足，对数理感情的培养不够有关。